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El Profe Alonso

Puntos más lejano y más cercano de una circunferencia a una recta

Problema tipo UNI · Enunciado y resolución propios
ID: articulo-PA-07 · Geometría analítica y Trigonometría

Este es un problema tipo UNI de recta y circunferencia. Vas a hallar el punto más cercano de una circunferencia a una recta y también el más lejano, con cuentas exactas y sin medir en el dibujo.

Respuesta: tan α − tan β = −1/2 (clave B).

Enunciado

La circunferencia x2 + y2 − 2x − 4y − 20 = 0 y la recta L: 3x + 4y − 41 = 0 no se cortan. A es el punto de la circunferencia más lejano de L y B, el más cercano. Si α y β son ángulos en posición normal cuyos lados finales pasan por A y B, respectivamente, calcula tan α − tan β.

  • A) −5/2
  • B) −1/2
  • C) 1/3
  • D) 1/2
  • E) 5/2
Figura del problema PA-07: circunferencia, recta L y los puntos A y B Plano cartesiano. Circunferencia de centro C(1; 2) y radio 5. Recta L: 3x + 4y − 41 = 0, que no corta a la circunferencia. La perpendicular a L que pasa por C la corta en A(−2; −2), el punto más lejano de L, y en B(4; 6), el punto más cercano; llega a L en H(23/5; 34/5). A, C, B y H están en la misma recta. Desde el origen O salen los segmentos OA y OB, que marcan los ángulos α = 225° y β, en posición normal. x y O 2 4 6 8 10 −4 −2 4 6 8 −2 L: 3x + 4y − 41 = 0 α β C(1; 2) A(−2; −2) B(4; 6) H r = 5
Figura exacta, calculada con código. A, C, B y H están sobre la perpendicular a L.

Cómo hallar el punto más cercano de la circunferencia a la recta

  1. Ordena la circunferencia. Completa cuadrados: (x2 − 2x + 1) + (y2 − 4y + 4) = 20 + 1 + 4 (x − 1)2 + (y − 2)2 = 25 Centro C(1; 2) y radio r = 5.
  2. Mide la distancia del centro a la recta. d(C; L) = |3·1 + 4·2 − 41| / √(32 + 42) = |−30| / 5 = 6 Como 6 > 5, la recta no corta a la circunferencia.
  3. Usa la idea clave. El punto más cercano y el más lejano están sobre la perpendicular a L que pasa por C. Esa perpendicular va en la dirección del vector normal de L, (3; 4). Su vector unitario es (3/5; 4/5).
  4. Ubica B y A. En el centro, 3x + 4y − 41 vale −30. Si avanzas en la dirección (3; 4), ese valor sube hacia 0: te acercas a L. Entonces: B = C + 5·(3/5; 4/5) = (1 + 3; 2 + 4) = (4; 6) A = C − 5·(3/5; 4/5) = (1 − 3; 2 − 4) = (−2; −2) Compruébalo: d(B; L) = |12 + 24 − 41| / 5 = 1 = 6 − 5 y d(A; L) = |−6 − 8 − 41| / 5 = 11 = 6 + 5.
  5. Calcula las tangentes. Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por (x; y), su tangente es y/x. tan α = (−2)/(−2) = 1 tan β = 6/4 = 3/2 A está en el tercer cuadrante (α = 225°). Por eso su tangente es positiva.
  6. Resta en el orden del enunciado. tan α − tan β = 1 − 3/2 = −1/2 Es la clave B.

Error típico

Ojo. Si cambias A por B, calculas tan β − tan α = 3/2 − 1 = 1/2 y marcas la D. Antes de restar, confirma cuál punto está más cerca de L: compara sus distancias (1 y 11) o mira el signo de 3x + 4y − 41 en el centro.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el punto más cercano está en la perpendicular que pasa por el centro?

Todo punto de la circunferencia está a 5 del centro. Por eso su distancia a L está entre d(C; L) − 5 y d(C; L) + 5. Esos dos extremos solo se alcanzan sobre la perpendicular a L que pasa por C. Aquí valen 1 y 11.

¿Y si la recta corta a la circunferencia?

Entonces la distancia mínima es 0, en los puntos de corte. El punto más lejano sigue en la perpendicular por el centro, del lado contrario a la recta, a d(C; L) + r de ella.

¿Cómo sé hacia qué lado queda la recta sin dibujar?

Reemplaza el centro en 3x + 4y − 41. Aquí sale −30, negativo. Entonces L queda hacia donde 3x + 4y crece, o sea, en la dirección (3; 4). Por ese lado está B.

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